Fonction carré - Résolution graphique d'inéquation

Propriété

On se place dans un repère du plan. On considère la fonction carré \(f\) et \(C_f\) sa courbe représentative dans ce repère.

• Les solutions de l'inéquation \(f(x)<k\)  (respectivement \(f(x)>k\)) sont les abscisses des éventuels points de la courbe \(C_f\) situés strictement en dessous (respectivement au-dessus) de la droite d'équation \(y=k\). 
  
• Les solutions de l'inéquation \(f(x)\leq k\)  (respectivement \(f(x)\geq k\)) sont les abscisses des éventuels points de la courbe \(C_f\) situés sur ou en dessous (respectivement sur ou au-dessus) de la droite d'équation \(y=k\). 
  

Méthode Résolution de l'inéquation \(f(x)\leq k\)

• Repérer le nombre demandé \(k\) sur l'axe des ordonnées.
  
• Tracer la droite \(\Delta\) d'équation \(y=k\) . Cette droite passe par le point de coordonnées \((0~;~k)\) et est parallèle à l'axe des abscisses.
  
• Les solutions de l'inéquation \(f(x)\leq k\) sont les abscisses des points de \(C_f\), s'ils existent, situés sur ou en dessous de la droite \(\Delta\).
  

Exemple

On se place dans un repère du plan. Soit \(C_f\) la courbe représentative de la fonction carré \(f\) dans ce repère.
Soit `k` un réel de l'intervalle \([-7~;~7]\).
On veut résoudre graphiquement l'inéquation `f(x)<k`.
Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points de `C_f`, s'ils existent, situés strictement en dessous de la droite `\Delta` . 
On les lit sur l'axe des abscisses.

Pour visualiser l'animation, bouger le curseur pour changer la valeur de `k`.

Par exemple

• pour \(k=1,5\), les solutions de l'inéquation \(f(x)<1,5\) sont \(S=]~-1,22~;~1,22~[\) ;
• pour \(k=-2,9\), l'inéquation \(f(x)<-2,9\) n'a pas de solution.